Trigonometri

Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon = tiga sudut dan metro = mengukur) adalah sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut segi tiga dan fungsi trigonometrik seperti sinus, cosinus, dan tangen. Trigonometri memiliki hubungan dengan geometri, meskipun ada ketidaksetujuan tentang apa hubungannya; bagi beberapa orang, trigonometri adalah bagian dari geometri.

Awal trigonometri dapat dilacak hingga zaman Mesir Kuno dan Babilonia dan peradaban Lembah Indus, lebih dari 3000 tahun yang lalu. Matematikawan India adalah perintis penghitungan variabel aljabar yang digunakan untuk menghitung astronomi dan juga trigonometri. Lagadha adalah matematikawan yang dikenal sampai sekarang yang menggunakan geometri dan trigonometri untuk penghitungan astronomi dalam bukunya Vedanga, Jyotisha, yang sebagian besar hasil kerjanya hancur oleh penjajah India.

Matematikawan Yunani Hipparchus sekitar 150 SM menyusun tabel trigonometri untuk menyelesaikan segi tiga.

Matematikawan Yunani lainnya, Ptolemy sekitar tahun 100 mengembangkan penghitungan trigonometri lebih lanjut.

Matematikawan Silesia Bartholemaeus Pitiskus menerbitkan sebuah karya yang berpengaruh tentang trigonometri pada 1595 dan memperkenalkan kata ini ke dalam bahasa Inggris dan Perancis.

Ada banyak aplikasi trigonometri. Terutama adalah teknik triangulasi yang digunakan dalam astronomi untuk menghitung jarak ke bintang-bintang terdekat, dalam geografi untuk menghitung antara titik tertentu, dan dalam sistem navigasi satelit.

Bidang lainnya yang menggunakan trigonometri termasuk astronomi (dan termasuk navigasi, di laut, udara, dan angkasa), teori musik, akustik, optik, analisis pasar finansial, elektronik, teori probabilitas, statistika, biologi, pencitraan medis/medical imaging (CAT scan dan ultrasound), farmasi, kimia, teori angka (dan termasuk kriptologi), seismologi, meteorologi, oseanografi, berbagai cabang dalam ilmu fisika, survei darat dan geodesi, arsitektur, fonetika, ekonomi, teknik listrik, teknik mekanik, teknik sipil, grafik komputer, kartografi, kristalografi.

Ada pengembangan modern trigonometri yang melibatkan "penyebaran" dan "quadrance", bukan sudut dan panjang. Pendekatan baru ini disebut trigonometri rasional dan merupakan hasil kerja dari Dr. Norman Wildberger dari Universitas New South Wales. Informasi lebih lanjut bisa dilihat di situs webnya.

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

Selengkapnya klik di sini!

:: PERSAMAAN KUADRAT ::

Persamaan kuadrat (PK) adalah suatu persamaan polinomial berorde dua atau persamaan dalam x (x sebagai variabel) berderajat dua yang berbentuk y = ax^2 + bx + c, y = 0, dengan a, b, c bilangan real dan a ≠ 0. Nilai x yang memenuhi persamaan disebut akar-akar atau penyelesaian PK. Huruf-huruf a, b dan c disebut sebagai koefisien: koefisien kuadrat a adalah koefisien dari x2, koefisien linier b adalah koefisien dari x, dan c adalah koefisien konstan atau disebut juga suku bebas.

Nilai a, b dan c

Variasi nilai a

 Variasi nilai b

Variasi nilai c

Nilai-nilai a, b dan c menentukan bagaimana bentuk parabola dari fungsi persamaan kuadrat dalam ruang xy.

Rumus kuadrat akar (Rumus ABC)

Rumus kuadrat dikenal pula dengan nama 'rumus abc karena digunakan untuk menghitung akar-akar persamaan kuadrat yang tergantung dari nilai-nilai a, b dan c suatu persamaan kuadrat. Rumus yang dimaksud memiliki bentuk

Rumus ini digunakan untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat apabila dinyatakan bahwa

.

Dari rumus tersebut akan diperoleh akar-akar persamaan, sehingga persamaan semula dalam bentuk

dapat dituliskan menjadi

.

Dari persamaan terakhir ini dapat pula dituliskan dua hubungan yang telah umum dikenal, yaitu

dan

.

Ilustrasi dapat dilihat pada gambar.

Diskriminan/determinan

Dalam rumus kuadrat di atas, terdapat istilah yang berada dalam tanda akar:

yang disebut sebagai diskriminan atau juga sering disebut determinan suatu persamaan kuadrat. Kadang dituliskan sebagai D.

Suatu persamaan kuadrat dengan koefisien-koefisien riil dapat memiliki hanya sebuah akar atau dua buah akar yang berbeda, di mana akar-akar yang dimaksud dapat berbentuk bilangan riil atau kompleks. Dalam hal ini dikriminan menentukan jumlah dan sifat dari akar-akar persamaan kuadrat. Terdapat tiga kasus yang mungkin:

• Jika dikriminan bersifat positif, akan terdapat dua akar berbeda yang kedua-duanya merupakan bilangan riil. Untuk persamaan kuadrat dengan koefisien berupa bilangan bulat, apabila diskriminan merupakan suatu kuadrat sempurna, maka akar-akarnya merupakan bilangan rasional -- sebaliknya dapat pula merupakan bilangan irrasional kuadrat.

• Jika diskriminan bernilai nol, terdapat eksak satu akar, dan akar yang dimaksud merupakan bilangan riil. Hal ini kadang disebut sebagai akar ganda, di mana nilainya adalah:

• Jika diskriminan bernilai negatif, tidak terdapat akar riil. Sebagai gantinya, terdapat dua buah akar kompleks (tidak-real), yang satu sama lain merupakan konjugat kompleks:

dan

Jadi akar-akar akan berbeda, jika dan hanya jika diskriminan bernilai tidak sama dengan nol, dan akar-akar akan bersifat riil, jika dan hanya jika diskriminan bernilai tidak negatif.

Akar-akar riil dan kompleks
Persamaan kuadrat dapat memiliki sebuah akar (akar ganda) atau dua buah akar yang berbeda, yang terakhir ini dapat bersifat riil atau kompleks bergantung dari nilai diskriminannya. Akar-akar persamaan kuadrat dapat pula dipandang sebagai titik potongnya dengan sumbu x atau garis y = 0.


Titik potong dengan garis y = d
Dengan cara pandang ini, rumus persamaan kuadrat dapat digunakan apabila diinginkan untuk mencari titik potong antara suatu persamaan kuadrat () dengan suatu garis mendatar (). Hal ini dapat dilakukan dengan mengurangi persamaan kuadrat tersebut dengan persamaan garis yang titik potong antar keduanya ingin dicari dan menyamakannya dengan nol.

Intepretasi yang sama pun berlaku, yaitu bila:

• diskriminan positif, terdapat dua titik potong antara dan ,
• diskriminan nol, terdapat hanya satu titik potong antara dan , dan
• diskriminan negatif, tidak terdapat titik potong antara kedua kurva, dan .
  

Nilai-nilai Y
Akar-akar suatu persamaan kuadrat menentukan rentang x di mana nilai-nilai y berharga positif atau negatif. Harga-harga ini ditentukan pula oleh nilai konstanta kuadrat a:
Harga-harga Y:

dengan merupakan akar-akar persamaan kuadrat. Dalam tabel di atas, apabila bersifat kompleks, maka yang dimaksud adalah (nilai riil)-nya.

Selengkapnya klik di sini!

:: FUNGSI KUADRAT ::

Bentuk umum fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c, f(x) = 0, dengan a, b, c bilangan real dan a ≠ 0. Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola.

Selengkapnya klik di sini!

:: Perpangkatan (Eksponen) ::

Eksponen adalah perkalian yang diulang-ulang. Orang menulis eksponen dengan indeks di atas, yang akan terlihat sebagai berikut: xy. Terkadang hal itu tak mungkin. Kemudian orang menulis eksponen menggunakan tanda ^: 2^3 berarti 23.

Bilangan x disebut bilangan pokok, dan bilangan y disebut eksponen. Sebagai contoh, pada 23, 2 adalah bilangan pokok dan 3 eksponen.

Untuk menghitung 23 seseorang harus mengalikan 3 kali terhadap angka 2. Sehingga 2^3=2 \cdot 2 \cdot 2. Hasilnya adalah 2 \cdot 2 \cdot 2=8. Apa yang dikatakan persamaan bisa juga dikatakan dengan cara ini: 2 pangkat 3 sama dengan 8.

Contoh:

* 5^3=5\cdot{} 5\cdot{} 5=125
* x^2=x\cdot{} x
* 1x = 1 untuk setiap bilangan x

Jika eksponen sama dengan 2, maka disebut persegi karena area persegi dihitung menggunakan a2. Sehingga

x2 adalah persegi dari x

Jika eksponen sama dengan 3, maka disebut kubik karena volume kubus dihitung dengan a3. Sehingga

x3 adalah kubik x

Jika eksponen sama dengan -1 orang harus menghitung inversi bilangan pokok. Sehingga:x^{-1}=\frac{1}{x} Jika eksponen adalah integral dan kurang dari 0, orang harus membalik bilangan dan menghitung pangkat. Sebagai contoh:

2^{-3}=(\frac{1}{2})^3=\frac{1}{8}

Jika eksponen sama dengan \frac{1}{2} hasilnya adalah akar persegi bilangan pokok. Sehingga x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}. Contoh:

4^{\frac{1}{2}}=\sqrt{4}=2

Dengan cara yang sama, jika eksponen \frac{1}{n} hasilnya adalah akar ke-n, sehingga:

a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}

Jika eksponen merupakan bilangan rasional \frac{p}{q}, hasilnya adalah akar ke-q bilangan pokok yang dipangkatkan p, sehingga:

a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p}

Eksponen bisa juga tak rasional. Untuk menjadikan bilangan pokok a menjadi pangkat ke-x yang tak rasional, kita menggunakan rangkaian ketidakterhinggaan bilangan rasional (xi), yang limitnya adalah x:

x=\lim_{n\to\infty}x_n

seperti ini:a^x=\lim_{n\to\infty}a^{x_n}

Ada beberapa aturan yang membantu menghitung pangkat:

* \left(a\cdot b\right)^n = a^n\cdot{}b^n
* \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n},\quad b\neq 0
* a^r \cdot{} a^s = a^{r+s}
* \frac{a^r}{a^s} = a^{r-s},\quad a\neq 0
* a^{-n} = \frac{1}{a^n},\quad a\neq 0
* \left(a^r\right)^s = a^{r\cdot s}
* a^0 = 1,\quad a\neq 0: Bila bilangan pokok lebih besar daripada 1 dan eksponen 0, jawabannya 1. Jika bilangan pokok dan pangkat sama dengan 0, jawabannya tak terdefinisikan.

Ekponen matriks bisa pula dihitung. Matriks itu harus persegi. Sebagai contoh: I^2=I \cdot I=I.

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

Selengkapnya klik di sini!

:: LOGARITMA (LOGARITHM) ::

Logaritma kebalikan atau lawan dari eksponen.

Jika bentuk eksponen 52¬ = 25 ditulis ke dalam bentuk logaritma menjadi 5log 25 = 2.

Bentuk umum logaritma adalah: alog b = c, engan syarat:

- a: bilangan pokok logaritma, harus positif dan tidak sama dengan nol (a > 0 dan a ≠ 0)

- b: bilangan logaritma, harus bernilai positif (b > 0)

- Bilangan pokok 10 biasanya tidak ditulis (log 25 berarti 10log 25)

Selengkapnya klik di sini!